Определение инерционных сейсмических нагрузок на гидротехнические сооружения

При сейсмическом воздействии возникают колебания основа­ния сооружения. Обозначим смещения какой-либо точки основа­ния сооружения как и , где  и - горизонтальные смещения по двум взаимно перпендикулярным направлениям, а  - вертикальные смещения.

При расчете сооружений (за исключением сооружений большой протяженно­сти, например мостовых переходов, «большой протяженности зданий, моно­литных плотин в широких створах и т. п.) обычно принимается так назы­ваемое допущение «платформенного эффекта». Принимают, что при сей­смическом воздействии происходят вы­нужденные колебания сооружения, расположенного вместе со своим осно­ванием на некоторой воображаемой платформе, совершающей поступатель­ные смещения по заданному закону.

Преобладают при сейсмическом воз­действии горизонтальные смещения  и . В зонах, близких к эпицентральным, необходимо учитывать также    и    вертикальные     смещения . Рассмотрим наиболее   распростра­ненную расчетную схему сооружения в виде консольного стержня (этой расчетной схеме отвечают грави­тационные плотины, башенные водоприемники и другие гидротех­нические сооружения). В любой точке сооружения с координатой х при вынужденных колебаниях, возбуждаемых смещением основа­ния, возникают инерционные силы, определяемые следующим обра­зом:

             (5.4)

 где  - сейсмическая инерционная сила;   - интенсив­ность распределенной массы сооружения, определяемая по фор­муле

 где - толщина сооружения в точке х;  - относитель­ное упругое перемещение точки х сооружения при колебаниях (рис. 5.4).

 Рис. 5.4 Расчетная схема соору­жения на сейсмическое воздействие     в    виде    консольного стержня

Для получения уравнений вынужденных колебаний сооруже­ния при сейсмическом воздействии можно воспользоваться прин­ципом Даламбера. В уравнении, связывающем прогибы (переме­щения) и действующие на сооружение силы, заменим статические силы на сейсмические инерционные, а статические перемещения на динамические. Таким образом можно получить уравнения вы­нужденных колебаний при сейсмических воздействиях. Решение уравнений отыскиваем в виде ряда (воспользовавшись методом разделения переменных - методом Фурье)

                (5.5)

 где  при i= 1, 2, 3, ... - форма собственных (свободных) ко­лебаний сооружения по i - му тону, а  - некоторые функции времени, описывающие изменение перемещений во времени. Под­становка выражения (5.5) в уравнение вынужденных колебаний и применение известных преобразований метода разделения пере­менных приводят к замене одной системы уравнений вынужденных колебаний на две системы: одна -уравнения собственных коле­баний, из которого отыскиваются функции , другая - урав­нения относительно функции . Решения второй системы урав­нений записывают

           (5.6)

            (5.7)

 где - коэффициент внутреннего трения для i-го тона собствен­ных колебаний (, где   -  логарифмический декремент для i- го тона); - частота i - го тона собственных колебаний.

Таким образом, перемещения сооружения, возбуждаемые сей­смическими колебаниями основания, могут быть записаны

                   (5.8)

 В последнем выражении можно выделить два функциональных множителя: первый - подчеркнутые члены в выражении (5.8) -за­висит от форм колебаний сооружения по i- му тону и его обозна­чают , второй - есть функция времени, зависящая от частоты (или периода) собственных колебаний сооружения и затухания колебаний.

Для коэффициента , зависящего от формы деформации сооружения при колебаниях по i - му тону, в динамической спект­ральной теории сейсмостойкости используют следующие выраже­ния: а) для сооружений, рассчитываемых как система с дискрет­ными массами   (система с конечным числом степеней свободы):

                     (5-9)

где - смещение точки kпри колебаниях по i - му тону; п - число cчитываемых в расчете сосредоточенных масс в расчетной схеме сооружения;  -  вес сооружения, отнесенный к точке j сооружения; б) для сооружений, работающих пространственно, направление сейсмических колебаний не совпадает (в общем слу­чае) с направлением перемещений точек сооружения по тонам колебаний

         (5.10)

где  - угол между вектором сейсмического ускорения и смещением сооружения  в точке ; -интенсивность распределенной массы сооружения, отнесенной к точке соору­жения;  - элемент площади срединной поверхности сооруже­ния; S - площадь срединной поверхности сооружения.
В выражениях (5.9) и (5.10) знаменатель дроби представляет собой условие нормировки произвольной системы функций, опи­сывающей собственные колебания сооружения. В выражении (5.8) это условие принято равным единице.

Формула (5.8) позволяет определить перемещения сооружения при кинематическом возбуждении колебаний. Зная перемещения, можно определить деформации, усилия и напряжения в различных сечениях сооружения, так как последние связаны с перемеще­ниями некоторыми дифференциальными и конечными соотноше­ниями. Однако на практике оказывается удобным придать рас­четам на сейсмические воздействия иную форму. А именно, опре­деляются нагрузки, вызывающие эти перемещения, а затем определяются внутренние усилия, используемые при проверке прочности сооружения, и реакции по опорному контуру или равнодействующие сейсмических нагрузок, используемые при провер­ке устойчивости сооружения. Таким образом, мы возвращаемся к выражению (5.4), в котором учтем полученное выше выражение для смещений сооружения при вынужденных колебаниях.

Продифференцируем дважды по времени выражение (5.8) и подставим его в выражение (5.4). При этом получим

При учете достаточно большого числа членов разложения сейсмической нагрузки по тонам собственных колебаний i =1,2,3…, выражение в фигурных скобках будет равно нулю и сейсмическая нагрузка может определяться по сокращенному выражению

где т(х) - распределенная масса сооружения в точке х;  - коэффициент, зависящий от формы деформации сооружения при его собственных колебаниях по i - й форме и от характера распре­деления массы;  - частота i - го тона    собственных    колебаний; - функция   времени,       описывающая движение линейного ос­циллятора системы с одной степенью свобо­ды, имеющей частоту собственных колебаний  и затухание .

Функции       в выражении (5.11) представляют абсолю­тные ускорения линей­ных         осцилляторов. Пример вычисления та­ких функций приводит­ся на рис. 5.5. Для ак­селерограммы преоб­ладающий период составляет примерно . На рис. 5.5, б, в, г приводятся графи­ки     функций      для трех значений  пе­риодов собственных ко­лебаний      Т₁ = 0,76 с, Т₂ = 0,28с и Т₃ = 0,153 с. Из этих графиков вид­но, что для линейных ос­цилляторов, у которых период собственных ко­лебаний много больше преобладающего  пери­ода   колебаний   почвы при        землетрясении, максимальные реакции (максимальные абсолютные ускорения) проявляются с некоторым запаздыванием по отношению к .максимальным ускорениям осно­вания и примерно равны самим ускорениям колебания почвы при землетрясении  . Для периодов, примерно равных Т0, величи­ны максимальных реакций увеличиваются и почти совпадают по времени с максимальными ускорениями почвы.  В этом случае го­ворят о резонансных колебаниях конструкции при землетрясении. Зависимости (5.10) и (5.11) могут применяться при расчете соору­жений с использованием аналоговых акселерограмм. Однако рас­чет на одну или несколько аналоговых акселерограмм не гарантирует, что выполнен

 Рис. 5.5. Расчет сооружения на действие ана­логовой акселерограммы землетрясения:
а - акселерограмма        землетрясения       Эль-Центро;
б - г - абсолютные ускорения линейных осцилляторов с  периодами  собственных    колебаний   0,76    с,   0,28  с и 0,153 с

учет всех возможных особенностей проявления землетрясений в данном районе, поэтому наиболее часто исполь­зуют второй способ оценки проявления сейсмического воздействия на сооружения - используют средние значения спектров реакции сооружения.

По фактически наблюденным акселерограммам землетрясений были вычислены функции [] для всего диапазона встречающихся на практике периодов собственных колебаний. Средние значения функций [], полученные путем ста­тистической обработки, называют коэффициентом динамичности , где -  период i - го тона собственных колебаний сооруже­ния и, как это следует из предыдущего, коэффициент динамично­сти есть функция периода собственных колебаний сооружения и затухания. Из-за того что максимумы реакции сооружения по отдельным тонам собственных колебаний встречаются не одновре­менно (не совпадают по времени), а также учитывая хаотичность колебаний при землетрясениях при суммировании реакций и уси­лий, определенных для отдельных тонов собственных колебаний, принимается, что расчетные значения этих величин равны (наибо­лее вероятно) среднеквадратичной величине. График  (рис. 5.6) построен для безразмерных ускорений.  

 Рис. 5.6 График коэффициента динамичности:
1 - коэффициент динамичности для железобетонных и бетонных соору­жений, работающих при колебаниях без раскрытия швов; 2 - то же, для бетонных сооружений, свободно де­формирующихся при колебаниях с частичным раскрытием швов; 3 - то же, для земляных и каменно-набросных сооружений

Для перехода к величинам расчетных ускорений необходимо учесть множитель , где - коэффициент сейсмичности или безразмерное уско­рение (по нормам) в долях ускорения свободного падения тел g(табл. 5.5).

Величина  расчетной сейсмической  нагрузки в точке сооруже­ния по СНиП П-А.12-69 записывается в следующем виде:

          (5.12)

 где   - сейсмическая   нагрузка,   соответствующая i- му   тону собственных колебаний сооружения, определяется по формуле

              (5.13)

В формулах (5.12) и (5.13) приняты обозначений: n - число учитываемых в расчете тонов собственных колебаний/ Q(х) - вес сооружения, отнесенный к точке х; т - коэффициент, учитываю­щий особые условия работы гидросооружений I класса капиталь­ности в сейсмических районах и принимаемый р'авйым 1,5 для бетонных плотин и 1,3 для плотин из местных материалов. Для сооружений II, III и IV классов капитальности принимается т= 1.

Таким образом, согласно СНиП II-А.12-69 алгоритм (последовательность действий) расчета плотин на сейсмические воздей­ствия состоит из следующих шагов:

1.Определение периодов собственных колебаний сооружения Т₁ Т₂, Т₃ и соответствующих им форм собственных колебаний  на основе расчета или модельных исследова­ний. Для бетонных гравитационных и массивно-контрфорсных плотин, а также для плотин из местных материалов можно в ряде случаев ограничиться учетом первых трех тонов колебаний, для других сооружений необходим учет большего числа тонов коле­баний (определяемый необходимой точностью определения сейсмической нагрузки на сооружение).

2.  По известным периодам собственных колебаний определяют­ся по графику рис. 5.6 коэффициенты , а затем и коэффици­енты по формулам (5.9) или (5.10).

3.  Далее определяются сейсмические нагрузки, соответствую­щие каждому из тонов собственных колебаний по формуле (5.13), причем для сооружений, взаимодействующих с водной средой, под  подразумевается вес сооружения в точке х и вес присоеди­ненной массы воды. Одновременно учитывается также изменение периодов собственных колебаний сооружения в воде и соответствующее изменение коэффициентов динамичности.

4.В случае расчета устойчивости сооружения определяется суммарная сейсмическая нагрузка по формуле (5.12).

5. В случае расчета прочности сооружения определяются внут­ренние усилия в сооружении для каждого из тонов колебаний. По нагрузке определяют и . Затем в зависи­мости от величины периода первого тона собственных колебаний принимается одна из указанных ниже формул для определения расчетных значений усилий:  

для                 

 для                        

 В последней формуле - максимальное из всех учитывае­мых усилий. Усилия по остальным тонам колебаний учитываются с весовым коэффициентом 0,5.