Основные уравнения теории термоупругости

Задача теории упругости о напряженном состоянии тела при из­менении температуры решается на основании принципа, высказан­ного Дюгамелем и Нейманом. Сущность этого принципа состоит в том, что равномерное нагревание или охлаждение элементарного объема изотропного тела не вызывает в нем напряжений; при этом происходит одинаковое удлинение (укорочение) его сторон по трем измерениям без угловых деформаций.

Если обозначить через  коэффициент линейного расширения материала, а через t- изменение температуры в точке тела, то компоненты деформации, вызываемые изменением температуры, бу­дут иметь следующий вид:

 
            (4.37)
                                         

Деформация в каждой точке тела в общем случае складывается из деформации от напряженного состояния в данной точке и деформации от изменения температуры :

               (4.38)

В дальнейшем упругая часть деформации по осям х, у,zобозначается
ду      дт ду,   '   дг
через  , , , а полная  деформация – через ;   ;   .  При этом геометрические условия уравнений теории уп­ругости с учетом температурных членов запишем в виде 

  ;   ;

                                      ;   ;                 (4.39)

 ; 

 Остальные труппы уравнений теории упругости имеют тот же вид, что и для случая , кроме уравнений неразрывности, записывающихся в виде (например, по оси х)

            (4.40)

 1. Для плоских  конструкций  при  изменении  температуры по одной оси величина температурных напряжений будет иметь вид

                 (4.41)

 или, используя (4.39):

      (4.42)

где Е - модуль упругости материала;  - коэффициент Пуассона. По закону плоских сечений и=(А + Ву)х и, следовательно,

                        (4.43)

где А и В - постоянные коэффициенты,   значения  которых нахо­дятся из граничных условий задачи.
а. Для свободно опертой плиты толщиной 2h (рис. 4.12, б, 1) значения коэффициентов находят из условия равенства нулю век­торов напряжения и момента на торцах плиты:

                 (4.44)

Определяя из условий (4.44) значения коэффициентов А и В, получим следующее выражение температурных напряжений для свободно опертой плиты в сечении iс координатой у *:

 Данную формулу можно записать в следующих видах: ,  

                   (4.46)

                            (4.47)

(4.48)

Рис. 4.12. Эпюры температур и напряжений в плитах:
а - эпюры  температур;   б - эпюры  напряжений;   1 - свободно  опертая   плита;  2 - плита лишена  свободы осевого перемещения;  3 - плита   лишена   свободы  поворота опорного сечения; 4 - жестко защемленная плита

где F- площадь температурной эпюры; S - статический момент площади температурной эпюры; J - момент инерции сечения пли­ты; - средняя температура по сечению плиты (вызывающая осевую деформацию);  - средний градиент температуры (вы­зывающий поворот сечения);  - значения температуры в отдель­ных точках (стремящейся вызвать общую деформацию соответст­вующего волокна плиты);  - криволинейная часть температур­ной эпюры.
Таким образом, в общем виде обозначено (рис. 4.12, а)

Из формул (4.43) - (4.48) видно, что для свободно опертой плиты напряжения определяются только частью деформации, по­лучаемой из полной путем вычета осевой деформации и деформа­ции поворота сечения. Эта часть деформации, стремящаяся вызвать депланацию сечения, по закону плоских сечений свободно разви­ваться не может и вызывает напряжения.

Деформации осевая и поворота сечения в свободно опертой плите развиваются свобод­но, определяя соответствующие перемещения, и поэтому не приво­дят к возникновению напряжений.

Величина перемещений в свободно опертой плите определяется по следующей формуле:

             (4.50)

Для других случаев опирания плиты напряжения возникают как от деформации, стремящейся депланировать сечение, так и от деформаций, на которые наложены закрепления, а именно:
б. Если плита   лишена   свободы   осевого   перемещения   (рис.
4.12, б, 2), то

                (4-51)

в. Если плита   лишена   свободы   поворота   опорного   сечения  (рис. 4.12, б, 3), то

            (4.52)

 г. При жестко защемленной плите (рис. 4.12, б, 4)

  (4.53)

 т. е. в этом случае вся деформация вызывает напряжение.

Термонапряженное состояние конструкций цилиндрической фор­мы при осесимметричной температурной задаче находят из реше­ния плоской задачи теории термоупругости и в цилиндрических координатах выражается следующими формулами:

           (4.54)

 Обозначим:

            (4.55)

где  - средняя температура кольца:  - средняя температу­ра части кольца в пределах от а до r; b, а - внешний и внутренний радиусы кольца (рис. 4.11: b = r₁   а = r₂). Тогда

               (4.56)

В случае «тонких» конструкций или получим

          (4.57)

 где  -  средняя температура по толщине стенки кольца;

           (4.58)

 Полученная формула с учетом правила знаков для напряжений  аналогична выражению для определения температурных напряжений в плоской плите, лишенной свободы поворота опорного сечения [см. формулу (4.52)].