Расчет арочных плотин по методу центральной консоли. Метод расчета с использованием схемы X. Ганева

Арочную плотину как систему из горизонтальных арок и центральной консо­ли X. Ганев предложил рассматривать как консоль, опирающуюся на упругое основание   (рис.12.24, а), характеристики которого (коэффициент посте­ли) определяются деформативностью  отдельных гори­зонтальных арок.

Обозначим коэффициент постели арочного основания через к, тогда отпор упруго­го основания или то же - часть нагрузки, воспринима­емая арками , будет рав­на:

  (12.20)

 где - прогиб централь­ной консоли.

Нагрузка, передающаяся  на консоль , определяется по фор­муле

 (12.21)

где р (у) - гидростатическая нагрузка,   действующая   на арочную плотину.
Коэффициент постели  к(у) представляет   собой  величину, об­ратную прогибу арки в точке  пересечения   ее  с центральной консолью от единичной   равномерно-распределенной   горизонтальной нагрузки:

 Рис 12.24 Схемы к расчету   арочных пло­тин как консоли на упругом арочном осно­вании:
а - при  упругой  заделке  консоли;   б - при   шар­нирном шве; в - при скользящем шве

 где e(у) - переменная по высоте толщина арочной плотины;
r(у) - то же, радиус арок;
 - коэффициент, учитывающий влияние центрального угла арки и условия ее заделки в берега; для жестко-защемленной арки может быть определен по формуле Кейна:

           (12.23)

 Величина прогиба консоли может быть найдена из реше­ния дифференциального уравнения изгиба консоли на упругом ос­новании

                    (12.24)

 где ЕJ(у) -жесткость консоли; -вторая производная про­гиба консоли.

Задача решается при соблюдении граничных условий, которые в зависимости от вида сопряжения плотины (консоли) с основани­ем задаются в следующем виде (рис. 12.24):

 на гребне плотины

               (12.25)

 у основания плотины у = 0 ();

а)   для жестко защемленной консоли (или при учете податливости основания по способу Фогта-Тельке для фиктивно удлиненной  консоли)

           (12.26)

б)   для упруго защемленной консоли при учете податливости основания по способу Фогта

      (12.27)

 в)   для шарнирного шва с моментом трения в шве

 ;        (12.28)

г)   для скользящего шва с силой трения в шве

 ;      (12.29)

 Решение уравнения (12.24) можно выполнить одним из прибли­женных методов, в числе которых применялись метод последова­тельных приближений, метод конечных разностей, вариа­ционный метод и др.

Для случая жестко защемленной консоли из перечисленных ме­тодов наиболее удобен, по-видимому, вариационный метод Бубно­ва - Галеркина, применение которого к решению указанной задачи предложено К. М. Хуберяном.

Для других схем сопряжения плотины с основанием задача мо­жет быть решена методом конечных разностей или, применяя энергетический метод, на основе вариационных выражений, мини­мизирующих потенциальную энергию системы. Величина потенци­альной энергии системы П может быть записана для различных схем сопряжения плотины с основанием в виде

 
(12.30)

 В представленном выражении потенциальной энергии системы уч­тены следующие величины: внешняя нагрузка р(у), например гид­ростатическое давление воды, внутренний изгибающий момент и упругий отпор арочного основания. Дополнительный член П₀ учи­тывает потенциальную энергию от усилий, возникающих на контуре сопряжения плотины с основанием. Для различных схем сопря­жения (см. выше) величина П_о  равна:

а)   жесткое защемление П₀ = 0,

б)   упругое защемление

             (12.31)

 в)   шарнирный шов

          (12.32)

 г)   скользящий шов

                       (12.33)

 Задачу в этом случае решают вариационным методом Рэлея - Ритца, по которому записывается выражение прогиба в виде

               (12.34)

 и отыскиваются значения коэффициентов Сi из условия минимума потенциальной энергии системы при варьировании их величин

                   (12.35)

Принимая функцию прогибов по формуле (12.34) и используя (12.30), выражения (12.35) можно записать в виде

                                         (12. 36)

                                       …………………………………

При введении безразмерной величины , и учитывая, что

 ,   ,  

 и т. д., получим следующие выражения членов канонических урав­нений (12.36):

    (12. 37)

 
(i=1,2,3,…..n; j=1,2,3….n)

 где  - для гидростатической нагрузки. Дополни­тельные члены в приведенных выражениях для различных схем со­пряжения плотины с основанием равны:

 а)   жесткое защемление

  ;                    (12.38)

 б)   упругое защемление

  
(12.39)

 
где к₁ к₃ и к₅ - коэффициенты Фогта;  - ко­эффициент стройности арочной плотины; J₀ и J_0' - момент инер­ции сечения консоли и значение первой производной в основа­нии консоли (= 0); , и т. д. - значения производ­ных аппроксимирующих функций при ;

 в)   шарнирный шов

 ;             (12.40)

 г)   скользящий шов

 ;                      (12.41)

 Функции , аппроксимирующие прогиб консоли, должны отображать физический характер работы сооружения, и, следова­тельно, применение вариационного метода, особенно при ограничен­ном числе задаваемых функций, требует инженерного понимания работы сооружения. Обычно в расчетах ограничиваются двумя - четырьмя функциями, иногда принимают большее число функций.

Построение указанных функций наиболее удобно производить с использованием фундаментальных балочных функций, к которым приводится решение дифференциального уравнения поперечных колебаний балки постоянного сечения

                 (12.42)

 Для различных случаев сопряжения плотины с основанием про­гиб консоли

                (12. 43)

 может быть представлен  с помощью  следующих  аппроксимирую­щих функций:

 а) жесткое защемление

 где   - балочная функция для балки, имеющей один конец жестко защемленный, другой свободный;

 ;   ;

 б) упругое защемление

       (12.44)

 (12.45)

 в)   шарнирный шов с моментом трения в шве

 ;  для                   (12.46)

 Для случая  М_тр = 0  принимается ;

 г)   скользящий шов с силой трения в шве

  ;   ;   для         

где  - балочная функция для балки,  имеющей  один конец шарнирно опертый, другой свободный;

 ;                 (12.47)

 Таким образом, в приведенном выше методе расчёта арочной плотины решение задачи сводится к определению членов канони­ческих уравнений (12.36) по формулам (12.37), решению уравне­ний (12.36) и определению коэффициентов . Далее определяется функция прогибов по формуле (12.43) и нагрузки на арки р_а [см. формулу (12.20)] и консоль р_к .