Расчет напряжений в плотине при наличии гидростатического давления и без него

Нагрузками плотины являются собственный ее вес и гидростатическое давление, считаемое от уровня воды в вер­шине треугольника, фильтрационное противодавление не учитыва­ется.

Как известно из теории упругости, напряжения в любой точке такого профиля бесконечной высоты (рис. 8.10) выражаются ли­нейными функциями координат:

 Рис. 8.10 Схема бес­конечного клина к расчету напряжений методом теории упру­гости

      (8.34)

 Коэффициенты этих уравнений, получаемые из анализа напря­жений на гранях плотины, равны:

   (8.35)

Если плотина не нагружена водой (строи­тельный случай или опорожненное водохрани­лище), напряжения определяют по тем же уравнениям, но в них надо подставить , вследствие чего вторые члены выражений (8.35) отпадут.

Главные напряжения в точках, для которых известны напряжения нормальные и касательные по осям ОХ и ОY ( и ), определяют по известным формулам:

      (8.36)

        (8.37)

Направление главных нормальных напряжений N₁ и  N₂   и пло­щадок их действия определяется углом

     (8.38)

 или

           (8.38/)

Главные касательные напряжения направлены под углом +45° к направлениям главных нормальных напряжений.

Напряжения на гранях плотины получают из урав­нений (8.34) и (8.35) подстановкой в них значений и  для напорной и низовой граней соответственно. Ниже при­водятся формулы только для напряжений и :

            (8.39)

              (8.40)

 Главные  напряжения   на   гранях    плотины  опре­деляют по уравнениям (8.36) и (8.37) с подстановкой в них выражений для и на гранях. Полученные выражения не отличают­ся от уравнений (8.25), (8.26) и (8.28), что доказывает возмож­ность использовать для расчета в данном случае элементарный метод.

Распределение напряжений по профилю плотины.  Изостаты и траектории напряжений в теле плотины мо­жет быть наглядно представлена се­мействами кривых, обозначающих линии равных напряжений - изоста­ты, и кривых, показывающих напра­вление действия напряжения - тра­екторий напряжений.

Изостаты напряжений. Построение изостаты любого напря­жения производится по уравнениям напряжений (8.34), (8.35). Для это­го следует задать постоянную вели­чину напряжения, например , и по уравнению для различных значе­ний координаты х или у находить соответствующую другую координа­ту той же точки.

 Рис. 8.11 Схема   построения изостат напряжений

Для упрощения построения кривых можно пользоваться следующим прие­мом. Из вершины треугольного профиля плотины проводят ряд лучей, считая за нулевой луч ось ОY(рис. 8.11) и нумеруя их по порядку со знаком «+» направо от этой оси и со знаком «-» налево.

Преобразуем приведенные выше выражения  (8.34)  следующим образом:

  (8.41)

Здесь   постоянные величины для луча, на котором лежит точка А  с координатами х, у  (рис. 8.11), а отношение х/у есть тангенс угла  между лучом и осью ОY.

Подставляя выражения  (8.41)   в уравнения   главных   напряжений   (8.36)   и (8.37), можно написать уравнения и для них на данном луче

   (8.42)

      (8.43)

 Для каждого луча подсчитывают  далее   значения  и значения
 после чего любая   изостата   строится   по   уравнениям (8.42) и (8.43). Пусть, например, надо построить изрстату главного напряжения, равного F кг/см² (МПа), тогда и

               (8.44)

 Подставляя в уравнение (8.44) значения  для каждого луча, получаем координату уп соответствующей точки заданной изостаты; соединяя эти точки от луча к лучу, строим кривую изостаты главного нормального напряжения (рис. 8.11). Давая другое значение  например F, строим аналогичным путем кривую . Обычно изостаты напряжений строят для значений напря­жений 5, 10, 15 кг/см² (0,5; 1,0; 1,5 МПа) и т. д.

 Рис. 8.12 Изостаты главных нормальных напряжений

На рис. 8.12 приведены изостаты главных нормальных напряже­ний в плотине при наполненном (рис. 8.12, а) и опорожненном (рис. 8.12, б) водохранилище. Если совместить кривые первого и второго случаев на одном чертеже (рис. 8.12, в), то легко можно выделить зоны плотины, которые могут иметь напряжения в задан­ных пределах. Например, на рис. 8.12, в заштрихована зона с глав­ными сжимающими напряжениями в пределах 1,5 МПа.

Кривыми изостат главных нормальных напряжений можно поль­зоваться для назначения в разных зонах плотины бетона марок со­ответствующей прочности.

Траектории напряжений. Положение площадок дейст­вия или направлений главных нормальных напряжений определя­ется углом наклона  этих площадок к оси ОХ согласно уравнению (8.38). При этом величины  вычисляют аналогично тому, как это делается для изостат главных напряжений, а именно: в выра­жение (8.38) подставляются значения  из уравнений (8.41), в результате чего получают формулу

         (8.45)

 Значение  вычисляют по этой формуле для каждого луча, принимая знак « + » для первого главного напряжения и «-» для второго. Направления площа­док напряжения графически наносят у соответствующих лучей. Практически для этого строят вспомогательный график  (рис. 8.13), на котором откладывают на­правления векторов напряжений +01, +02, +03 по соответствующим величинам  (на рис. 8.13 для наполненного водохранилища), определяемым отношением 0'1/0'0 = ; 0г, 0'2/0'0 =  и т. д. Затем, начиная от какой-либо грани профиля плотины,  проводят линии на профи­ле, например   АВСDЕFGдля напря­жения   N₁ и А₁В₁С₁D₁Е₁F₁G₁ для N₂, параллельные векторам и пересекаю­щие    соответствующий     луч;    длина этих  линий   ограничивается  биссектрисами углов,   составляемых данным и соседними   лучами  (рис. 8.13). Та­ким путем может быть построен це­лый ряд траекторий в разных местах профиля  плотины.  Траектории   глав­ных нормальных напряжений N₁ и N₂  взаимно   ортогональны,   что   следует из свойств этих напряжений.

 Рис. 8.13 Схема построения траекто­рий главных нормальных напряжений

Рис. 8.14 Траектории главных напряжений: а, б - нормальных; в - касательных

 На рис. 8.14 показаны сетки траекторий наибольших и наимень­ших главных нормальных напряжений для случаев наполненного (рис. 8.14, а) и опорожненного (рис. 8.14, б) водохранилищ и тра­екторий главных скалывающих напряжений (рис. 8.14, в), при на­полненном водохранилище. Траектории главных скалывающих на­пряжений направлены под углом 45° к траекториям главных нор­мальных напряжений.

Траектории главных скалывающих напряжений до известной степени характеризуют линии возможных разрушений кладки. Но в действительности линии возможных разрушений кладки откло­няются от траекторий скалывания, так как даже небольшая тре­щина вносит изменения в напряженное состояние треугольного профиля плотины, что вызывает изменение и траекторий напряже­ний. Однако практика показывает, что разрушение бетонной кладки при авариях обычно происходит по строительным швам бетониро­вания, которые близки к траекториям скалывания  (см. рис. 8.29).