Теоретические решения фильтрационных задач. Гидродинамические сетки

B общем виде задача   фильтрации   в какой-то   области   решается   уравнениями гидромеханики.

B    каждой точке однородной области фильтрации   давления р и скорости U различны  по величине и направлению. Компоненты скорости для условий плоской задачи могут быть записаны уравнениями Жуковского:

           (3.1)

           (3.2)

 
Рис. 3.1 Схема фильтрации воды:
а - напорная фильтрация под бетонной плотиной (вид А-А); б - фильт­рация в обход сооружения (берегового устоя) - плановая фильтрация; в - безнапорная фильтрация в земляной плотине (вид Б-Б); 1 - кривая депрессии; 2 - пленочная вода; 3 - капиллярная вода; 4 - гравитационная вода; 5 - обозначена проницаемая часть подземного контура; 5 - водоне­проницаемая часть

Условия неразрывности жидкости (количество входящей и выходящей жид­кости через определенный контур равны) представляются дифференциальным уравнением

 
            (3.3)

Уравнения (3.1) и (3.2) и (3.3) называются основными дифференциальными уравнениями установившегося движения грунтовых вод.

В формулах (3.1) и (3.2)  - потенциал скорости, равный

 
                  (3.4)

Подставив выражения (3.1), (3.2) в (3.3), получим уравнение Лапласа

 
          (3.5)

Решение   этого   уравнения   может   быть   представлено   семейством   линий: эквипотенциален (линий равного напора) и линий тока.

Рис. 3.2 Схемы подземного контура:
I - плоский незаглубленный при ограниченной глубине проницаемого слоя  T;  II - плос­кий заглубленный;    III - одношпунтовый;    IV- двухшпунтовый;     V- одпошпунтовый  с «висячим»  шпунтом в начале флютбета;  VI-одношпунтовый контур со шпунтом, заби­тым до водоупора

Для эквипотенциальных линий (линий равного напора Н)

 
(3.6)

Для линии тока

 
 (3.7)

где  - функция тока, удовлетворяющая уравнению Лапласа

           (3.8)

 
Линии  и составляют собойгидродинамическую сетку фильтрации и на­правлены ортогонально друг к другу.

Гидродинамическая сетка строится по уравнениям  (3.5)  и  (3.8), решенным в заданных граничных условиях области фильтрации.

Такими областями для напорной фильтрации является область, ограниченная подземной границей сооружения или так называемым фильтрационным (подземным)   контуром  (рис. 3.1, а)    и   кровлей    нижележащего    водонепроницаемого грунта (водоупора). На рис. 3.1, а подземный (фильтрационный) контур состоит непроницаемых и проницаемых частей. Непроницаемая часть подземного контура Б-В-Г-Д-Е-Ж; 3-И; К-Л-М создана (применительно к рис. 3.1, а) понуром 1, шпунтом 10, частью подошвы плотины 2 и водобойной плиты 4. Проницаемая часть  подземного контура А-Б; Ж-3; И-К; М-Н создана проницаемым дном водохранилища, нижнего бьефа и дренажем 3.

Наиболее часто   применяемые   схемы   подземного   контура   приведены   на рис. 3.2.Для схемы (рис. 3.2), III гидродинамическая сетка показана на рис. 3.3,где п - количество эквипотенциалей. Область безнапорной фильтрации ограни­чена сверху депрессионной поверхностью (на рис. 3.1, в и рис. 1.6, а - кривая депрессий) и контурами сооружения.

Область обходной фильтрации ограничена депрессионной по­верхностью сверху, водоупором снизу и контуром примыкания со­оружения к берегу - стеной устоя исопрягающих открылков (см. рис. 3.1, б - линии 2-3-4-5, 6-7-8-9).

Рис. 3.3  Гидродинамическая сетка фильтрации при одношпунтовом подзем­ном контуре: I - эпюра  осреднешюй выходной  скорости  ;  II- эпюра  фильтрационного противо­давления

Из теории фильтрации вытекает, что гидродинамическая сетка для модели, геометрически подобной натуре, строится в приведенных функциях.

Тогда пере­счет с такой сетки на натуру производят по зависимостям:

гидродинамическое давление в любой точке области фильтрации

              (3.9)

 
скорость фильтрации

 
               (3.10)

 
и действительный фильтрационный расход

 
               (3.11)

 
где  - приведенные давление, скорость и расход, т. е. величины, опре­деленные при h = Н=1.