Оптимізація параметрів поперечного перерізу за довжиною дощатоклеєної балки

Я.Ю. Козловська, студентка 4 ПЦБ, Херсонський ДАУ
О.Є. Янін - к.т.н., О.В. Пилипась - к. с.-г. н., доценти

За традиційною схемою розміри прямокутного поперечного перерізу дерев’яної балки визначають із умови забезпечення потрібної міцності за нормальними напруженнями, тобто, використовуючи вираз
   
При цьому, для балок перекриття застосовують переріз постійної висоти за довжиною прольоту.

Як відомо, епюрою згинальних моментів є квадратна парабола з максимумом у середині прольоту. Тому балка постійного перерізу не є раціональною, бо опорні перерізи працюють тільки на сприймання поперечної сили. Скоротити витрати деревини можливо, якщо переріз поблизу опор виконати змінної висоти. Для дощатоклеєнних балок це виконати  не важко: кожний наступний шар виконують з дощок меншої довжини, а скіс фрезерують.

Призначимо висоту балки на опорі з умови забезпечення її міцності на сколювання:
  
За змінної висоти перерізу на ділянках прольоту поблизу опор її величина на відстані Z від опори

hz=h₁+IZ,

де: I=tga - нахил нижнього поясу на ділянках поблизу опор.

Виразимо згинальний момент на відстані Z

.        

                                  
і несучу здатність перерізу у довільному перерізі 

 
Тоді задача мінімалізації витрат деревини при заданому h₁ зводиться до дослідження на екстремум цільової функції об’єму балки, який залежить від h₁ ( Vбалки (h₁)). При цьому нахил I визначається в залежності від h₁ (I(h₁)), виходячи з того, що в довільному перерізі буде забезпечуватись міцність за нормальними напруженнями.