Вплив власної ваги на стійкість стержнів

ЄМЕЛЬЯНОВА  Т.Т. - доцент кафедри фізики ХДАУ,
Новикова А., Сергієнко А., Чеканович О. - студенти ІІ курсу ПЦБ

Стержні мають широке використання в різноманітних галузях техніки: в різноманітних машинах, будівельних конструкціях та приладах.  Також стержні можна розглядати в якості моделей колон, шахтних печей і т.п.
Розглянемо задачу про стійкість стержня. При різному закріпленні кінців, при дії  на нього власної ваги q.

(а)                         (б)                           (в)
Рис. 1

 При розв’язанні задачі нами було  використано рівняння метода Бубнова - Галеркіна в перетвореному вигляді:

 
              (1)

1. Розглянемо стійкість стержня, нижній кінець якого защемлений, верхній - вільний (рис.1 а). Рівняння пружної лінії має вигляд:

                   (2)

Підставляючи рівняння пружної лінії (2) в рівняння (1) та вважаючи жорсткість постійною по довжині, інтегруючи отримаємо:

 
,             (3)

 Або

              (4)

 2. Розглянемо стійкість стержня, нижній та верхній кінці якого защемлені (рис.1 б). Рівняння пружної лінії запишемо в такому вигляді:

           (5)

 Підставляючи рівняння пружної лінії (5) в рівняння (1) та вважаючи жорсткість постійною по довжині, інтегруючи отримаємо:

           (6)

3. Розглянемо стійкість шарнірно опертого по кінцях стержня (рис.1 в). Рівняння пружної лінії будемо шукати  у вигляді:
            

                  (7)

 Підставляючи рівняння пружної лінії (7) в рівняння (1) та вважаючи жорсткість постійною по довжині, інтегруючи отримаємо:

          (8)

Для визначення критичної довжини стержнів ми повинні розв’язати рівняння (4), (6) і (8).  Для їх рішення  складена комп’ютерна  програма, за допомогою якої була знайдена критична довжина  стержня різного перерізу  для різних матеріалів.

Результати показали, що найбільш стійкими є стержні з обома защемленими кінцями .  Найменш стійкими - стержні з одним защемленим кінцем, а другим - вільним.

Понравилось? Поделитесь материалом